چگونه می توان نقاط ثابت عملکردهای hyperbolic را پیدا کرد؟

سلام! من یک تأمین کننده Fix Point هستم ، و امروز می خواهم در مورد چگونگی یافتن نقاط ثابت عملکردهای Hyperbolic گپ بزنم. این ممکن است کمی فنی به نظر برسد ، اما من آن را به شکلی که درک آن آسان باشد ، تجزیه می کنم.

اول از همه ، بیایید به سرعت بیش از آنچه که عملکردهای هیپربولیک وجود دارد ، پیش برویم. شما احتمالاً از توابع مثلثاتی منظم مانند سینوس ، کنجین و مماس شنیده اید. خوب ، عملکردهای هایپربولیک به نوعی مشابه هستند ، اما آنها به جای دایره بر اساس هایپربولا بنا شده اند. عملکردهای اصلی هیپربولیک عبارتند از: Sinh (Hyperbolic Sine) ، COSH (Hyperbolic Cosine) و TanH (مماس هایپربولیک).

بنابراین ، نقاط ثابت چیست؟ نقطه ثابت یک تابع مقداری است که هنگام اعمال عملکرد در آن تغییر نمی کند. به عبارت دیگر ، اگر یک تابع (y = f (x)) دارید ، یک نقطه ثابت (x_0) معادله را برآورده می کند (x_0 = f (x_0)).

بیایید با عملکرد سینوسی Hyperbolic ، (y = \ sinh (x)) شروع کنیم. فرمول (\ sinh (x) = \ frac {e^{x} -e^{-x}} {2}). برای یافتن نقاط ثابت خود ، باید معادله را حل کنیم (x = \ frac {e^{x} -e^{-x}} {2}).

هر دو طرف معادله را 2 ضرب کنید تا (2x = e^{x} -e^{-x}). تنظیم مجدد آن به ما می دهد (e^{x} -e^{-x} -2x = 0). اکنون ، این معادله برای حل تحلیلی بسیار آسان نیست. ما می توانیم از یک روش عددی مانند روش نیوتن - رافسون استفاده کنیم.

روش نیوتن - رافسون راهی برای یافتن ریشه های یک عملکرد است. برای یک تابع (g (x)) ، فرمول تکراری (x_ {n + 1} = x_n- \ frac {g (x_n)} {g '(x_n)}) است. در مورد ما ، (g (x) = e^{x} -e^{-x} -2x) ، و مشتق آن (g '(x) = e^{x}+e^{-x} -2).

بیایید بگوییم که ما با یک حدس اولیه شروع می کنیم (x_0 = 0). سپس (g (0) = e^{0} -e^{-0} -2 \ times0 = 1-1-0 = 0). بنابراین ، (x = 0) یک نقطه ثابت از عملکرد سینوس هایپربولیک است.

حال ، بیایید به عملکرد Cosine Hyperbolic حرکت کنیم ، (y = \ cosh (x) = \ frac {e^{x}+e^{-x}} {2}). برای یافتن نقاط ثابت خود ، معادله را حل می کنیم (x = \ frac {e^{x}+e^{-x}} {2}) ، یا (e^{x}+e^{-x} -2x = 0).

ما می توانیم عملکرد (H (x) = e^{x}+e^{-x} -2x) را تجزیه و تحلیل کنیم. گرفتن مشتق (h '(x) = e^{x} -e^{-x} -2). تنظیم (H '(x) = 0) می دهد (e^{x} -e^{-x} -2 = 0). بگذارید (t = e^{x}) ، سپس معادله (t- \ frac {1} {t} -2 = 0) یا (t^{2} -2t-1 = 0) می شود. حل این معادله درجه دوم با استفاده از فرمول درجه دوم (t = \ frac {2 \ pm \ sqrt {4 + 4}} {2} = 1 \ pm \ sqrt {2}). از آنجا که (t = e^{x}> 0) ، ما (t = 1+ \ sqrt {2}) را می گیریم ، بنابراین (x = \ ln (1 + \ sqrt {2})).

همچنین می توانیم توجه داشته باشیم که (h (0) = e^{0}+e^{-0} -2 \ times0 = 2 \ neq0). با نگاهی به رفتار عملکرد (H (x)) ، می توانیم متوجه شویم که هیچ نقطه ثابت با ارزش برای عملکرد کنوانسیون هایپربولیک وجود ندارد.

سرانجام ، بیایید به عملکرد مماس هایپربولیک ، (y = \ tanh (x) = \ frac {e^{x} -e^{-x}} {e^{x}+e^{-x}}) نگاه کنیم. برای یافتن نقاط ثابت خود ، معادله را حل می کنیم (x = \ frac {e^{x} -e^{-x}} {e^{x}+e^{-x}).

صلیب-ضرب می دهد (x (e^{x}+e^{-x}) = e^{x} -e^{-x}) ، یا (xe^{x}+xe^{-x} -e^{x}+e^{-x} = 0). ما می توانیم از یک روش عددی نیز در اینجا استفاده کنیم.

اگر این واقعیت را در نظر بگیریم که (\ tanh (x)) یک تابع عجیب و غریب است و (\ lim_ {x \ reldarrow- \ infty} \ tanh (x) =- 1) ، (\ lim_ {x \ راست \ راست \ infty} \ tanh (x) = 1). و (\ tanh (0) = \ frac {e^{0} -e^{-0}} {e^{0}+e^{-0}} = 0) ، بنابراین (x = 0) یک نقطه ثابت از عملکرد مماس hyperbolic است.

اکنون ، به عنوان یک تأمین کننده Fix Point ، من طیف گسترده ای از نقاط با کیفیت بالا را برای برنامه های مختلف ارائه می دهم. این که آیا شما روی یک پروژه شیشه ای کار می کنید ، ما شما را تحت پوشش قرار داده ایم. ما را بررسی کنیدسخت افزار شیشه ای استیل ضد زنگ، که برای نگه داشتن پانل های شیشه ای مناسب است. آنها از فولاد ضد زنگ ساخته شده اند ، بنابراین در برابر خوردگی بادوام و مقاوم هستند.

اگر به دنبال چیزی برای نرده های شیشه ای بیرونی هستید ، مادارندگان نرده شیشه ای از جنس استنلس استیل برای نرده های شیشه ای بیرونییک انتخاب عالی هستند آنها روشی ایمن و شیک برای نصب نرده های شیشه ای ارائه می دهند.

و برای کسانی که با شیشه 10 میلی متر یا 12 میلی متر کار می کنند ، ماگیره های شیشه ای برای شیشه 10 میلی متر/12 میلی متر مناسب استبه طور خاص برای متناسب با این ضخامت های شیشه ای طراحی شده اند.

اگر به هر یک از محصولات ما علاقه مند هستید ، احساس راحتی کنید تا برای نقل قول به ما مراجعه کنید و در مورد الزامات خاص خود صحبت کنید. ما همیشه خوشحالیم که به شما کمک می کنیم نقاط درست برای پروژه خود را پیدا کنید.

در پایان ، یافتن نقاط رفع توابع هایپربولیک می تواند کمی مشکل باشد ، به خصوص هنگامی که راه حل های تحلیلی دشوار است. اما با روش های عددی می توانیم نتایج بسیار دقیقی کسب کنیم. و اگر به پروژه های واقعی جهانی خود نیاز دارید ، از تماس با ما دریغ نکنید.

منابع

• آنتون ، H. ، Bivens ، I. ، و دیویس ، S. (2012). حساب: متعالیه های اولیه. ویلی
• استوارت ، جی. (2015). حساب: متعالیه های اولیه. یادگیری Cengage.